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作者:韓揚眉 來源:中國科學報 發布時間:2020/5/25 18:53:02
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學科交叉“撞”出基礎數學的“春天”
——記自然科學基金創新研究群體項目“代數與數論”

 

近半個世紀以來,純粹數學的發展呈現出各分支學科之間相互交叉與融合滲透的趨勢和特點,在代數幾何、數論、表示論、數理邏輯等這些十分活躍的領域里,讓原本在不同領域里“各自為戰”的數學家們意識到他們有著共同目標,并開始重新聯合在一起。

不同方向的數學家們思想與靈感的碰撞,正在催生重大的研究突破和進展。

打造平臺 凝聚數學家

純粹數學自發展為一門獨立的學科以來,它的研究和發展既拓展了自身的發展空間,也正成為其他領域關鍵問題得以解決必不可少的工具、方法和理論。

“學科交叉,是歷史自然發展的階段,如今到了需要多個方向知識匯合的時期。”中國科學院院士、中國科學院數學與系統科學研究院院長席南華告訴《中國科學報》,世界本來是綜合的,人們只是為了研究世界才把它割裂開。然而,就像“盲人摸象”一樣,只研究其中一個方面,并不能反映整體性質,數學的各個分支也是一樣。

過去幾十年,李理論、代數幾何、數論、泛函分析和數理邏輯等領域的交叉對其自身以及其他領域的發展起了巨大的推動作用。

作為一切科學的基礎,數學將在未來持續充滿生命力,諸多發達國家把保持數學領先地位和可持續性發展作為自己的戰略需求,而我國,也需抓住交叉融匯這一新契機,加速從數學大國向數學強國轉變的步伐。

中國科學院數學與系統科學研究院(以下簡稱數學與系統科學研究院)作為專業數學研究機構,在代數與數論這一純粹數學領域積累了諸多杰出的研究基礎和人才隊伍。

“我們一直是非常有雄心的。多年以來,我們始終重點關注著數學的主流方向。”席南華說,大家有共同的興趣,同時還需要一個平臺。

從2014年開始,在連續2期的國家自然科學基金創新群體項目‘代數與數論’的支持下,由席南華牽頭,有效地將代數和表示論、數論、數理邏輯及其相關應用等方向的數學家組織起來,促進合作交流,以期通過共同努力,做出具有開創性和引領性的世界一流成果,培養一批優秀年輕人,形成自己的研究特色。

靈感碰撞 成果涌現

6年來,圍繞國際若干前沿領域的重大問題,項目團隊成員取得了諸多優秀的成果。

朗蘭茲綱領(Langlands program)是21世紀最重大的數學問題之一,也是當今基礎數學中非?;钴S的研究方向。

它源于1967年,加拿大數學家羅伯特·朗蘭茲給法國數學家安德烈·韋伊的一份信。信中,羅伯特·朗蘭茲闡述了一項革命性的理論:即將數論、代數幾何與群表示理論這三個獨立發展、看似毫不相干的數學分支建立起了深刻聯系。

如今,與它有關的每一項新進展幾乎都被看作是重要成果。其中L-函數被稱為朗蘭茲剛領的中心問題,因為它是聯系著三大數學分支的橋梁,數學界著名的七個“千禧年大獎問題”——黎曼假設和BSD猜想都與它有關。

研究朗蘭茲綱領,需要一支兼具數論、代數群、李群表示論和代數幾何專長的研究團隊。近年來,數學與系統科學研究院就發展了這樣一支享譽全球的年輕隊伍。

項目組成員孫斌勇研究員證明了高階Rankin-Selberg L-函數特殊值非零假設,這一成果被稱為“孫的突破”。后來,他在自己博士論文及前人工作的基礎上,對L-函數的算術性質的研究中引入了構造上同調表示局部周期的分析方法,這一代數構造被國際同行稱為“孫的上同調導出泛函”。 利用這個代數構造,最終證明了關于線性周期的非零假設。

這是孫斌勇“十年磨一劍”的成果,期間他也常常遇到思考卡頓、想不通的時候,除了思考鉆研,還與其他數學家交流探討,他前往美國受邀拜訪以朗蘭茲綱領見長的數學家江迪華教授、與新加坡數學會會長、新加坡國立大學教授朱程波交流合作。在他看來,數學是一項長期工程,做數學要慢一點,把每一步都走得非常扎實,一點一點進步,才會走得更遠。

在BSD猜想研究方向也取得了突破,萬昕研究員證明了更一般的非正規情形下秩為0與1時的BSD公式,從而完成了秩為0與1的BSD猜想的證明。法國CNRS教授Christophe Cornut對此工作的評價為“積數十年來發展的幾乎所有方法集大成的皇冠性成果。”

2015年,田野研究員曾第一次對BSD猜想給出了接近最終答案的線索,當時被國際同行評價為“中國繼陳景潤之后最好的工作”。最近,他與合作者將此前BSD 猜想關于有理數域上帶復乘橢圓曲線的反定理推廣到了全實域上帶復乘的橢圓曲線。

此外,研究人員在代數簇中向量叢的研究和極小有理切線簇的研究、算子代數和Riemann zeta 函數的零點分布、Von Neumann 代數的生成元問題和自由群因子的同構問題等方向上也做出了重要成果。

突破和進展得益于研究人員內部以及與國內外廣泛而深入的學術聯系,這數學家們有了更多靈感閃現的瞬間。

“這是一種智力活動、思想碰撞,而這種相互影響(產生的結果)往往比較隱秘,但十分重要。”席南華說。

培養人才 造就一流

當今和未來世界的競爭,根本上還是人才的競爭。在數學領域,亦是如此。

“我國還比較缺乏頂尖的、有影響力的數學家,我們一直朝這個方向努力,盡管可能成效比較慢。”席南華說。在數學院,他們通過各種途徑努力培養和造就一些具有競爭菲爾茲獎等國際數學大獎實力的青年數學家。

通過項目的支持,大力鼓勵研究人員通過出訪、邀請、組織或參與國際會議和年度群體活動進行合作交流,開闊視野、擴大眼界。沒有時間和地點的限制,只要“有需要”就組織。

在科研人員看來,這種“近朱者赤”的潛移默化過程讓他們受益匪淺,當與世界頂尖的數學家交流多了,了解他們在關心的問題,學習他們看待和思考問題的方式,有利于自己的成長。

數學被稱為“年輕人的事業”,團隊還非常重視學生的培養,按照培養一流人才的標準設置相關專業的課程并授課,課程包括代數學 I-IV、代數數論、代數幾何、李代數及其表示、線性代數群及其表示、Shimura簇等。安排學生參加各類高水平學術交流活動等。

純粹數學大多研究千百年來的“未解之謎”,是長期工程。因此,科研人員必須心無旁騖、持續專注,才能有所成就。

席南華表示,他們更重在營造濃厚的學術氛圍。“就好像植物,必須有好的環境才能茁壯成長。人也一樣,即使是天才也需要合適的環境,我希望我們的科研人員每天高高興興、心情愉悅,讓身體的潛能得到充分激發。”

為此,他們一方面在制度上營造寬松的環境,給予科研人員充分的自主權,減少考核;另一方面,在行政系統上樹立“服務”的概念,盡可能少打擾科研人員,不讓他們為各種繁瑣的事情分心。

此外,在團隊中倡導學術平等,沒有“權威”的意識。“年輕人在這里不會感到壓抑,也不需要在資歷深的專家面前小心翼翼,事實上,大家可以很隨意的開玩笑。放松,無拘無束,就沒有任何東西可以限制人的發展空間了。”席南華說。

諸多舉措使得人才培養顯見成效,在項目實施期間,團隊中有1人當選為中國科學院院士,1人獲得國家自然科學獎二等獎, 3人獲得優秀青年基金資助,有1人從副研究員晉升為研究員,有2人從助理研究員晉升為副研究員。

研究周期長、成功率低、論文難發表是純粹數學研究的一大特點。而在現有“以文章論英雄”的評價機制下,數學家們難免受到“非議”。

“內心有標桿,自我有標準,不聞窗外擾動之聲”,這是創新研究群體團隊成員保持“定力”的做法。

“阿基米德、牛頓、高斯、歐拉......這些偉大的科學家足以當我們的指路明燈,只要堅定信念、明確方向,其他事與我無關。”席南華以此要求自己,同時也倡導年輕人如此,“數學與系統科學研究院、數學研究者還是要保持一顆單純的心,當今世界紛繁嘈雜,但我們的數學心如初。”

學術帶頭人專訪

“數論正處于一個特別活躍的發展期”

《中國科學報》:在代數和數論領域,國際前沿關注哪些方向?

席南華:Langlands綱領,BSD猜想,Hodge猜測,黎曼假設,算術代數幾何,Lie理論,量子群和代數群表示論,雙有理幾何與??臻g等都是代數與數論領域國際關注的前沿且活躍的問題和研究方向。

基礎數學的分支繁多,追求數學的統一性,各分支之間的相互滲透導致重大難題猜想的解決,是近年來基礎數學發展的一個大趨勢。

《中國科學報》:我國在代數和數論領域的優勢方向和團隊有哪些?

席南華:數論正處于一個特別活躍的發展期,重大成果不斷涌現,其中黎曼假設與BSD猜想兩個千禧問題尚未解決。

朗蘭茲綱領是21世紀最重大的數學難題之一,其研究涉及數論、代數群與李群、代數幾何、分析等諸多數學方向,已產生5個菲爾茲獎,但中心問題還遠未解決。中科院數學院朗蘭茲綱領研究團隊有成員13人,其中中科院院士2人,國家杰出青年科學基金項目獲得者5人。團隊成員近年來解決了該方向多個重要猜想。

《中國科學報》:數學與系統科學研究院在建設數學強國的過程中發揮著怎樣的作用?

席南華:國家給予了數學院很好的條件,包括把數學院作為體制改革的試點。我們集中精力出成果、出人才、出文化、出思想。少干擾,盡可能讓大家安心做研究、做大的問題。

近30年來,我國數學科學發展迅速,學科布局有了很大改善,研究水平也有驚人進步,在數學多個領域已形成若干有相當實力的科研團隊,取得了一批具有重要國際影響的研究成果,在國際上占有一席之地。但從總體上看,我國的數學研究水平離國際一流水平還有差距。

我時常告訴我們的科研人員,在數學與系統科學研究院的工作不僅僅是一份養家糊口的工作,更是一份事業,是讓人自豪的事業,關系到我國數學與系統科學發展。同時,我們也積極向國家和中國科學院爭取項目,從而穩定支持一批高水平中青年科研人員在這里潛心研究,取得重大突破或進展,開辟在國際上有重大影響的數學新方向。

 
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